向量学习笔记

一些关于向量的东西。正确的知识敬请参考Arahc的博客。

一、向量

• 向量就是，一条有向的线段
• 向量是有终点的！有时候为了简化图形，对于一个向量，我们仅描述其终点（前提是起点都是原点）。

二、矩阵加法&乘法

用奇怪的方式明白了矩阵乘法。

首先对于两个矩阵，一个为 $n\cdot m$ 的矩阵$A$，另一个为$m\cdot k$的矩阵$B$，他们得到的乘积矩阵$C$为$n\cdot k$的。

对于$C$中的每一个数$C_{i,j}$来说，有如下规则：

$C_{i,j}=\sum\limits_{z=1}^ma_{i,z}\cdot \sum\limits_{z=1}^mb_{z,j}$

然而本人太菜了一直搞不清为什么。

引入矩阵加法：

$C_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}$，要求矩阵$A$和$B$大小相同；

再引入一个神奇的算法，也即（好像只有这种简单的我明白了欸）:

$\begin{vmatrix}a&b\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}c\\d\end{vmatrix}=a\cdot \begin{vmatrix}c\\d\end{vmatrix}+b\cdot \begin{vmatrix}c\\d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}ac+bc\\ad+bd\end{vmatrix}$

下面就很好解释了。

将$A$的每一行看作一个数字$A_i$，将$B$的每一列看作一个数字$B_i$。

那么$A$会变成一个$n\cdot 1$的矩阵，$B$会变成一个$1\cdot k$的矩阵。

接下来考虑对这两个矩阵进行乘法。

显然：

$\begin{vmatrix}A_1\\\vdots\\A_n\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}B_1 &B_2&\cdots&B_k\end{vmatrix}=B_1\cdot\begin{vmatrix}A_1\\\vdots\\A_n\end{vmatrix}+\cdots+B_k\cdot\begin{vmatrix}A_1\\\vdots\\A_n\end{vmatrix}$

将其中的一项拎出来来看：

$B_1\cdot\begin{vmatrix}A_1\\\vdots\\A_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}B_{1,1}\\\vdots\\B_{1,m}\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}A_{1,1}\cdots A_{1,m}\\\vdots\\A_{n,1}\cdots A_{n,m}\end{vmatrix}$

根据上面那个简单的乘法法则，同样也将$B_{1,1}\cdot \begin{vmatrix}A_{1,1}\\\vdots\\A_{1,n}\end{vmatrix}$；其他的$B_{1,2}$至$B_{1,m}$也都一样处理即可。

值得注意的是，每一次运算完之后，得到的是一个$n\cdot 1$的矩阵！

然而一共有$k$个这样的$B$中的元素可以进行运算，所以最后得到的矩阵一定是$n\cdot k$的！

这应该也很好的解释了矩阵乘法中的法则吧！

三、行列式

对于一个二维平面，有一个$i$帽，一个$j$帽，这两个还有个什么名称就什么基向量（我不记得了），反正把他们看作一个坐标系中的单位长度的准则就好了。（题外话：$i$帽标准写法是$\hat{i}$）

具体来说，假设我们最常见的坐标系为单位长度为$1$的有$X$轴，$Y$轴的那种，那么$i$帽和$j$帽则分别是$(1,0)$和$(0,1)$。

每一次改变平面的时候，$i$帽和$j$帽所围成的面积/体积（三维就是体积）都会有所改变（相等也算是一种改变啦！）。

假设这个面积/体积变为原来的$u$倍，那这个$u$就是行列式啦。

$u$为负数的时候说明空间被翻转了，等于$0$的时候说明描述这个平面的矩阵的列是线性相关的。

关于线性相关：

还是以二维平面举例。

如果$i$帽和$j$帽在同一条过原点的直线上，比如$(1,2)$和$(2,4)$，那么描述这个平面的矩阵的列就是线性相关的，况且这种情况下也不会存在平面了，平面被压缩成了一条直线。

此时的矩阵为：$\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}$

所以可以得出一个结论：如果一个矩阵行列式为$0$，那么这个矩阵的列一定是线性相关的。

四、点积

点积的定义需要画图，这里实在是不好解释啊。

对于两个向量$u$和$v$：

• 如果$u$和$v$不是线性相关的：

  • $u$和$v$与原点的连线垂直：此时点积为$0$（因为一个在另一个所在直线上面的投影长度为$0$）
  • $u$和$v$直接较小的夹角为锐角：此时点积为正数
  • $u$和$v$之间较小的夹角为钝角：此时点积为负数

• 如果$u$和$v$是线性相关的：

  此时貌似点积为$0$吧？

这里提供一种理解方式：

在物理中关于做功，刘总曾说过三种方式，

• 无距无功（这里可以解释线性相关的情况和夹角为$90^\circ$的情况）
• 作负功（夹角是钝角）
• 正常作功（夹角是锐角）